inecuasiones

Inecuación

En matemática, una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad.¹ ² Si la desigualdad es del tipo $<$ o $>$ se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo ≤ o ≥ se denomina inecuación en sentido amplio.³

Del mismo modo en que se hace la diferencia de igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales.⁴ Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

Ejemplo de inecuación incondicional: $|x| \le |x|+|y|$ .
Ejemplo de inecuación condicional: $-2x+7<2$ .

En este caso hay varias inecuasiones y son:

inecuaciones de 2 grado con una incógnita

Una inecuación de segundo grado con una incógnita es cualquier desigualdad que, directamente o mediante transformaciones de equivalencia, se pueden expresar de una de las formas siguientes:

ax²+bx+c>0;     ax²+bx+c< 0;       ax²+bx+c ³0     ó     ax²+bx+c £ 0

con a, b y c reales y a¹0

Resolver la inecuación es encontrar el intervalo o intervalos de la recta real donde se verifica la desigualdad. Para su estudio, vamos a distinguir tres casos según sea el discriminante:

DISCRIMINANTE POSITIVO,  D>0: cuando b²- 4ac > 0 la ecuacion ax²+bx+c=0 tiene dos soluciones reales distintas, x₁ y x₂, y podemos escribir:

ax²+bx+c=a·(x-x₁)·(x-x₂)

Bastará con estudiar el signo de los tres factores para saber el signo del trinomio.

DISCRIMINANTE CERO, D=0: cuando  b²- 4ac > 0 la ecuacion ax²+bx+c=0 tiene una solución real doble, x₁= x₂, y podemos escribir:

ax²+bx+c=a·(x-x₁)²

Como (x-x₁)²³ 0, el trinomio tendrá el signo del coeficiente a y será nulo para x = x₁.

DISCRIMINANTE NEGATIVO, D<0: cuando  b²- 4ac < 0 la ecuacion ax²+bx+c=0 no tiene solución real(no hay puntos de corte con el eje X). Por lo tanto, el signo del trinomio es el mismo que el del coeficiente a.

Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas:

Su solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación resultante, que se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad.

2x + y ≤ 3

1º Transformamos la desigualdad en igualdad.

2x + y = 3

2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo queobtenemos dos puntos.

x = 0; 2 · 0 + y = 3; y = 3; (0, 3)

x = 1; 2 · 1 + y = 3; y = 1; (1, 1)

3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

Ecuaciones lineales en dos variables

Introducción

Una inecuación en dos variables es una inecuación que puede ser escrita como:

$a$ x + b y < c

o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo de desigualdad: > , ≤ o ≥

donde a, b y c son constantes y x y y son variables. Resolver una inecuación en dos variables consiste en encontrar todos los pares de valores de (x,y) para los cuales se cumple la desigualdad.

Tal como vimos en el tutorial de ecuaciones lineales en una dimensión, cuando intercambiamos el signo de desigualdad por el signo igual, obtenemos una ecuación que viene a ser la frontera de la solución de la desigualdad. Por ejemplo, consideremos la siguiente desigualdad: $y$ < x .

Cambiando el signo < por el signo = obtenemos la ecuación: $y$ = x . La gráfica de esta ecuación es una recta que divide el plano en dos regiones como se muestra en la siguiente figura:

Tomemos un punto cualquiera en la región roja, por ejemplo el punto (1,-1). Donde x=1 y y=-1. Como -1<1, este par de valores satisface la desigualdad: $y$ < x .

Tomemos otro punto en la región roja, por ejemplo el punto (2,1). Donde x=2 y y=1. Como 1<2, este par de valores satisface la desigualdad: $y$ < x .

Trata de encontrar un punto en la región roja tal que $y$ > x . Verás que no es posible conseguir un punto que cumpla esas condiciones.

En conclusión, cualquier punto de la región roja satisface la desiguldad $y$ < x .

Del mismo modo, cualquier punto en la región amarilla, satisface la desiguldad $y$ > x . Compruébalo seleccionando puntos al azar de la región amarilla.

En general, al cambiar el signo de desigualdad por el signo = obtenemos una ecuación de una recta que viene a ser la frontera de la solución de la inecuación.

Oprime el botón de abajo para practicar visualizando como igualdades dividen el plano xy